Что не вызывает никаких сомнений так это связь кинетической энергии и энергии вращения в вихре Бенара (торнадо). Как вихревой объект торнадо подчиняется правилу прецессии, в соответствии с которым мы обязаны сравнивать друг с другом взаимно перпендикулярные параметры. Т.е. кинетической энергии хобота соответствует энергия вращения периферии, а кинетической энергии периферии соответствует энергия вращения хобота. Для идеального варианта можем записать.
Eкх=Eвп
Eкп=Eвх
где
Eкх=mхvх2/2
Eкп=mпvп2/2
Eвп=Jпωп2/2
Eвх=Jхωх2/2
Jп=mg(R2-r2)|2
Jх =mхr2|2
Eкх и Eкп кинетическая энергия хобота и кинетическая энергия периферии,
Eвп и Eвх энергия вращения периферии и энергия вращения хобота,
Jп и Jх момент инерции периферии и момент инерции хобота,
vх и vп аксиальная скорость хобота и аксиальная скорость периферии,
ωх и ωп угловая скорость вращения хобота и угловая скорость вращения периферии,
mх масса элементарных вихрей всех слоёв хобота,
mп масса элементарных вихрей одного слоя периферии
R радиус вихря Бенара по периферии
r радиус хобота.
Но проблематичным является сделанное ранее описание самих центробежной и центростремительной сил в торнадо. Достоверные в основном рассуждения сопровождаются недостоверной математикой. Недостоверность появляется уже при описании центростремительной силы, возникающей в хоботе вихря.
Рисунок 1
Вращающиеся в одном направлении (голубые стрелки) окружности с элементарными стрелками за счёт разной длины окружностей создают действующую по касательной силу трения скольжения Fтр (проблема возникает при определении зависимости этой силы от параметров движения или вращения). Можно правда сделать предположение, что сила трения скольжения пропорциональна как разности аксиальных скоростей движения, так и разности угловых скоростей вращения. Для хобота и периферии можем записать.
Fтр1=η1(vх-vп)
Fтр2=η2(ωп-ωх)
Но равны ли друг другу η1 и η2. Естественная логика подсказывает, что вращение вокруг цилиндра, разделяющего потоки, ничем не отличается от вращения цилиндра вокруг центральной оси вихря. Поэтому вероятно должно быть.
η1=η2=η
Для двух вложенных окружностей хобота сила трения скольжения действует по касательной и равна.
Fтр=η(v1-v2)
где v1 и v2 линейные скорости движения внутренней и внешней окружностей.
Противодействующая сила по правилу прецессии действует по радиусу и равна по величине действующей. А т. к. внутренняя окружность вращается относительно внешней, то противодействующая сила имеет центростремительный характер, и равна Fцс=Fтр . И на каждую точку внутренней окружности по синим стрелкам действует центростремительная сила Fцс.
И естественно, что она действует по касательной на элементарные вихри внутренней окружности, увеличивая угловую скорость вращения элементарных вихрей. Применяя правило прецессии мы выясним, что силе, действующей по касательной на элементарный вихрь противодействует перпендикулярная сила, той же величины, но направленная в противоположную сторону F=-Fтр. Иными словами увеличение энергии вращения элементарных вихрей внутренней окружности сопровождается по правилу прецессии уменьшением их кинетической энергии. И в результате уменьшается скорость движения внутренней окружности и на любом радиусе все окружности вращаются с одной и той же угловой скоростью. Но это правило действует только в пределах одиночного слоя элементарных вихрей.
Нам же нужно определить величину как поступательного ускорения, так и величину углового ускорения, возникающих в вихре. Кроме взаимодействия элементарных вихрей из вложенных окружностей, элементарные вихри из соседних слоёв также взаимодействуют друг с другом.
Рисунок 2
В горизонтальном направлении слои двигаются в одном направлении и трения скольжения не возникает. Сила трения скольжения
Fтр=2ηv1х
возникает в вертикальном направлении (в аксиальном направлении скорости направлены в противоположные стороны). Помним о том, что каждый из слоёв вращается подобно твёрдому телу. Поэтому мы можем рассматривать слои как твёрдые диски, имеющие какую-то массу. И используя правило прецессии мы обнаружим, что со стороны нижнего диска на верхний (ведь движение, т. е. вращение идёт снизу вверх) действует сила F= Fтр. Следовательно линейная скорость движения элементарных вихрей по окружности получит ускорение,
∆ω=Fтр /mсл
(где mсл масса слоя элементарных вихрей хобота)
которое увеличит её до значения компенсирующего силу трения скольжения. Таким образом верхний слой хобота увеличит угловую скорость своего вращения на ∆ω относительно нижнего слоя элементарных вихрей хобота.
Ведь только в поступательном движении противодействующая сила уничтожает действующую. При вращательном же движении увеличение линейной скорости движения верхнего «твёрдого» диска увеличит его угловую скорость вращения, что и уничтожит силу трения скольжения. Иными словами по сравнению с идеальным вариантом угловая скорость вращения хобота равномерно увеличивается от слоя к слою на величину ∆ω от основания к вершине. Энергия же для увеличения угловой скорости вращения хобота заимствуется у периферии. И всё то же правило прецессии свидетельствует, что энергия берётся от кинетической энергии периферии. А т. к. хобот не компенсирует периферии потери энергии, то это и требует подпитки торнадо энергией.
Но пока что вещью в себе остаётся связь между, скажем, кинетической энергией хобота и его угловой скоростью вращения. Для этого рассмотрим одиночный слой хобота. Слой является самостоятельным вихревым объектом, на равных основаниях взаимодействующим с другими вихревыми объектами. Если в неупорядоченном состоянии жидкости или газа самостоятельными объектами являются элементарные вихри, то в вихревом движении любого вида (будь то турбулентные вихри, вращение в стакане с чаем, недоразвитый вихрь над нагретым солнцем склоном холма или полноценный вихрь торнадо) самостоятельными вихревыми объектами являются уже не элементарные вихри, а отдельно взятый слой из элементарных вихрей.
А как самостоятельный вихревой объект слой из элементарных вихрей всё своё держит при себе. А подобные объекты академик Зельдович предложил назвать анаполями. В интернете предложен и рисунок (внизу слева) для описания анаполя.
Рисунок 3.
Интернетовский рисунок описывает непрерывный вихревой объект. В случае же одного слоя элементарных вихрей мы имеем дискретную картину. Но и в том, и в другом случае присутствует как вертикальная, так и горизонтальная составляющие вращения. Вертикальная составляющая вращения определяет кинетическую энергию движения слоя в вертикальном направлении. Горизонтальная же составляющая вращения определяет угловую скорость вращения слоя v=rω.
Правило же прецессии диктует, что увеличению энергии вращения слоя соответствует уменьшение кинетической энергии слоя. Уменьшению же энергии вращения слоя соответствует увеличение кинетической энергии слоя. И в пределах одиночного слоя элементарных вихрей мы имеем идеальный вариант.
>Eкс=<Eвс
<Eкс=>Eвс
где Eкс кинетическая энергия слоя элементарных вихрей,
Eвс энергия вращения слоя элементарных вихрей.
Иными словами, слой как-то взаимодействует с внешним миром, но результат этого взаимодействия перераспределяется только внутри самого слоя, ничего не отдавая наружу, что и требовал Зельдович от подобного объекта.
Энергия между кинетической энергией аксиального движения хобота и его энергией вращения перераспределяется одна, но результаты будут разными. Ведь кинетическая энергия хобота значительно больше его энергии вращения. Скажем, энергия, выделившаяся при конденсации влаги, поступает в энергию вращения хобота. Но эта энергия не может полностью остаться в распоряжении его энергии вращения, а перераспределится пропорционально между кинетической энергией и энергией вращения. Поэтому скорость аксиального движения хобота при поступлении в вихрь энергии растёт быстрее чем угловая скорость его вращения.
Существовать торнадо может только до тех пор пока в него поступает энергия, выделившаяся при конденсации влаги, поступающей в него из материнской тучи. Для описания же этого явления видоизменим первый закон Фика.
Где j поток влаги через границу периферии торнадо,
D коэффициент диффузии,
а вместо градиента концентраций рассматриваем
P1-P2=ρv2/2 или ∆P=ρv2/2 градиент давлений,
v скорость движения периферии.
Без проблем определяется и энергия, выделяемая при конденсации влаги.
Выделившаяся при конденсации влаги энергия увеличивает энергию вращения хобота. А т. к. слой элементарных вихрей хобота является анаполем, то полученная энергия распределяется между кинетической энергией аксиального движения хобота и его энергией вращения.
И тут же возникает следующая проблема, которую в качестве примера можно продемонстрировать на правиле параллелограмма при сложении сил.
Рисунок 4
Пока угол между скоростью аксиальной скорости движения хобота и угловой скоростью его вращения меньше 900 энергия, поступившая в вихрь от конденсации влаги, распределяется пропорционально величинами кинетической энергии и энергии вращения хобота. Но как только этот угол становится равным 900 рост кинетической энергии хобота прекращается. И вся энергия, поступившая в хобот от конденсации влаги, остаётся в распоряжении энергии вращения.
Следовательно угловая скорость вращения хобота продолжает расти. А мы знаем, что величина центробежной силы определяется разностью между угловой скоростью периферии и угловой скоростью хобота. И угловая скорость вращения хобота растёт до тех пор пока её величина не сравняется с угловой скоростью периферии. И если до этого момента величина центростремительной силы была больше величины центробежной силы, то с этого момента наступает обратное соотношение. И мы можем констатировать, что с момента, когда угол между аксиальной скоростью движения хобота и его угловой скоростью вращения становится равным 900, прекращается прирост аксиальной скорости движения хобота.
При неизменности своих размеров и аксиальной скорости движения хобота торнадо начинает расти вверх, создавая себе стратегический запас элементарных вихрей для дискретного изменения своего состояния. Но как только величина центробежной силы станет больше величины центростремительной силы, склад из элементарных вихрей над торнадо рассыпается. И элементарные вихри бывшего склада идут на увеличение как ширины торнадо (т. е. и хобота, и периферии) так и его высоты. В торнадо наступает идеальное состояние, которое с нуля начинает нарушаться поступлением энергии от конденсации влаги. И эта сказка про белого бычка продолжается до тех пор, пока не будут исчерпаны все запасы влаги в туче.
