Разница центростремительной и центробежной сил определяется как.
Fцс-Fцб=mхvх/mпvпψос(1-ψус/ψос)
где Fцс центростремительная сила в вихре Бенара,
Fцб центробежная сила в вихре Бенара,
ψос угловая скорость вращения в вихре в осевом направлении вокруг цилиндра, т. е. частота вращения хобота относительно периферии,
ψус угловая скорость вращения в вихре в тангенциальном направлении, т. е. частота вращения периферии относительно хобота,
mх масса элементарных вихрей хобота,
mп масса элементарных вихрей периферии,
vх осевая скорость движения хобота,
vп осевая скорость движения периферии,
ωп угловая скорость вращения периферии,
ωх угловая скорость вращения хобота.
И эта разница определяет нам величину ускорения осевой скорости, скажем, периферии.
Fцс-Fцб=-mпa
Но к рассмотрению величины ускорения мы можем приступить и с других позиций. Ведь вихрь Бенара состоит из элементарных вихрей также в форме Бенара. И мы рассматривали до этого только вертикальную составляющую движения элементарных вихрей. Элементарные же вихри в хоботе двигаются по спирали. Т.е. кроме вертикальной составляющей элементарные вихри имеют и горизонтальную составляющую,
Рисунок 1
что и показано на рисунке. Для того же чтобы среда из хобота уходила на периферию, хобот должен формировать центробежную силу. В пределах вихря центробежная сила компенсируется центростремительной силой. Следовательно слои вихря должны попадать на волю, где отсутствует центростремительная сила. И природа даёт нам подсказку.
Рисунок 2
При преобразовании вихря Бенара грозовой тучи в торнадо внизу появляется конус. Но подобный же конус должен формироваться и в любом вихре Бенара, но только он располагается вверху.
Рисунок 3
Мы с подобной ситуацией уже встречались при рассмотрении двух соседних окружностей хобота вихря с элементарными вихрями.
Рисунок 4
Действующая по радиусу центростремительная сила по правилу прецессии формирует противодействующую силу той же величины, но направленную по касательной, что увеличивает угловую скорость вращения элементарных вихрей и уменьшает их осевую скорость движения. Следовательно, т. к. v=ωr, то момент центростремительной силы мы можем, продифференцировав его по радиусу, записать в виде.
dM/dr=Fцсdv/dr=Fцсω
где Fцс центростремительная сила в вихре Бенара,
ω угловая скорость вращения хобота вихря,
v осевая скорость движения элементарных вихрей по окружности.
При рассмотрении двух соседних окружностей на каждой из них все элементарные вихри под действием центростремительной силы имеют одну и ту же угловую скорость вращения. Кроме различия в величине угловой скорости вращения элементарных вихрей на разных окружностях соседние окружности имеют и разную величину массы элементарных вихрей. Поэтому мы можем записать.
Fцсω=mi+1θi+1/ miθi
где Fцс центростремительная сила,
ω угловая скорость вращения ротора подобная вращению твёрдого тела,
mi+1 масса элементарных вихрей на внешней окружности,
mi масса элементарных вихрей на внутренней окружности,
θi+1 угловая скорость вращения одиночного элементарного вихря внешней окружности,
θi угловая скорость вращения одиночного элементарного вихря внутренней окружности.
Логика та же, хотя вместо центростремительной силы должны рассматривать центробежную силу и вместо массы элементарных вихрей в кольцах должны брать массу элементарных вихрей в слоях.
dM/dr=Fцбdv/dh=Fцбωх
где h расстояние между слоями.
Но это ничего не меняет. Мы всё так же будем иметь дело с угловой частотой вращения хобота ωх, которая конечно же будет меняться от слоя к слою. Но нас интересует только нижний слой, для которого мы можем записать.
Fцсωх1=mi+1θi+1/ miθi
Иными словами ωх1 будет меняться пока диаметр нижнего слоя конуса не сравняется с диаметром хобота. Угловая скорость вращения ωх1 станет равной угловой скорости вращения хобота. И центробежная сила отправит нижний слой на периферию. На его место хобот тут же подаст очередной слой, который тут же уйдёт на периферию.
Но при чём же здесь обещанное ускорение a? Но для этого нам надо найти связь между аксиальной скоростью хобота и его угловой скоростью вращения. Т.к. v=ωr, то скорость подачи слоёв хобота одного за другим на периферию равно отношению осевой скоростью движения хобота к линейной скорости движения элементарных вихрей по окружности,
a=vх/ωхr
что и определит нам ускорение, с которым слои периферии уменьшают скорость своего движения от вершины к основанию вихря.
Но конус над хоботом может играть существенную роль для технических приложений. В вихре Бенара хобот скучает в одиночестве. Иное дело если у него появляются компаньоны, расположенные в линию, скажем, в трубопроводе, протянутом по земному экватору.
Рисунок 5
Вихри в трубопроводе располагаются вплотную вершина к основанию, что не предоставляет места для формирования конуса. Конус же, как мы выяснили, создаётся разностью центростремительной и центробежной сил. Эта разница не исчезает и при плотной упаковке вихрей. Поэтому ускорение, создаваемое разностью сил, формирует силу F=ma, которая прикладывается к переднему вихрю. Поэтому жидкость, вихрями Бенара двигающаяся по трубе, окольцовывающей землю по экватору, будет двигаться по ней вечно без потерь энергии. Конечно нет смысла строить такой трубопровод. Но земля сама позаботилась, продемонстрировав нам реки в океанах, возникающие у экватора. К нашему сожалению на их пути встречается земля, что изменяет направление их движения.
Если природа удосужилась продемонстрировать нам свойства вихревого движения, то не мешает и нам использовать его свойства. А ведь уже существует объект с бородой, в котором вихри Бенара создаются. И этим объектом является сопло Лаваля,
Рисунок 6
созданное в конце 19 века. Вихри Бенара создаются и вводом Шкандюка Михаила Петровича.
Рисунок 7
Вихри Бенара создаются и эжекторами типа.
Рисунок 8
Один из эжекторов создаёт вихри левого направления вращения, а второй левого направления вращения. Проверка работоспособности правого эжектора была сделана и размещена в интернете.
Рисунок 9
Когда автор эксперимента взял более мощный насос, то длины ванной не хватило для замера разности полёта струи с эжектором и без него.
Но и этим не исчерпываются способы создания вихрей Бенара. Лет 15-17 назад мы с сыном провели также в ванной простенький эксперимент. На один штуцер тройника подавали воду от насоса «Малыш», напряжение на котором было снижено примерно до 130 в. На боковой штуцер подавалась вода от омывателя стекла Жигулей, напряжение на котором мпульсно менялось (в пределах 8-14 в) в диапазоне 0-20 гц. В диапазоне 2-4 гц наблюдалось увеличение дальности полёта струи по сравнению с диапазонами и ниже, и выше указанного диапазона, что и свидетельствует о создании вихрей.
